Iccanobif y Nietsnie estaban intrigados, observaban a los humanos y descubrían como se emocionaban ante cosas, objetos que ellos llamaban bellos. Podía ser un paisaje, una flor, un edificio, una escultura, una pintura o al escuchar unos sonidos que definían como música.
¿Por qué esa emoción?
¿Qué podía provocar estos sentimientos en los humanos?
¿Qué tenían en común todos esos objetos, esas cosas?...
Para intentar descubrir este misterio tomaron…
- una flor,
- una concha marina,
- una foto de un edificio antiguo admirado e imitado (conocido como el Partenón),
- una reproducción de un retrato ante el que los humanos se quedaban absortos, parece ser que era conocido como La Gionconda o Mona Lisa
- y un instrumento musical conocido como violín
Después de múltiples observaciones, de experimentar con sus imágenes, se dieron cuenta de que, curiosamente, la respuesta podría estar en… ¡eureka!… las Matemáticas.
Cada una de estas figuras contiene en su estructura una misteriosa relación matemática. Al dividir entre sí ciertas medidas clave de sus elementos obtenemos siempre el mismo número: 1,618… y esto sin tener en cuenta la escala de la imagen, ni el patrón elegido.
Este número "mágico" también se puede escribir de esta forma:
¿Qué no lo entiendes? No te preocupes, a lo largo del tema veremos muchos ejemplos…
1.- Un toque histórico
¿Sabrían los humanos la existencia de esta pauta matemática? Buscaron información y… ¡claro que lo sabían! Esta proporción era bien conocida y utilizada en sus obras artísticas de cualquier época. Se denominaba número de oro, razón áurea y hasta divina proporción.
Otro nombre para definir esta proporción era phi (φ o ϕ), en honor a un gran escultor y arquitecto griego de la antigüedad llamado Fidias (principal exponente de la época más gloriosa de la Atenas clásica).
Otro nombre para definir esta proporción era phi (φ o ϕ), en honor a un gran escultor y arquitecto griego de la antigüedad llamado Fidias (principal exponente de la época más gloriosa de la Atenas clásica).
Para saber más…
Si quieres conocer un poco más la vida y obra de Fidias, puedes pulsar en este enlace:
Fidias, su vida y su obra
Si quieres conocer un poco más la vida y obra de Fidias, puedes pulsar en este enlace:
Fidias, su vida y su obra
Pero, ¡qué casualidad!, también se ajustaba al nombre de un gran matemático italiano de comienzos del siglo XIII, conocido como Fibonacci (¿te suena de algo este nombre?, piensa, piensa que quizá ya lo hayas visto a lo largo del tema de otra forma...) (su verdadero nombre era Leonardo de Pisa), famoso por la conocida sucesión de Fibonacci, surgida como consecuencia del estudio del crecimiento de las poblaciones de conejos.
Esta sucesión está íntimamente ligada al número áureo… ¡Quién podía imaginarse que la reproducción de los conejos encerraba el "secreto" de la belleza!… aunque, ¿hay algo más bello que la vida?
Una sucesión no es mas que una lista de números relacionados entre sí de tal forma que cada uno de ellos se obtiene haciendo una operación con alguno de los anteriores… pero siempre la misma operación.
Los ocho primeros términos de la sucesión de Fibonacci son:1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …
Esta sucesión está íntimamente ligada al número áureo… ¡Quién podía imaginarse que la reproducción de los conejos encerraba el "secreto" de la belleza!… aunque, ¿hay algo más bello que la vida?
Una sucesión no es mas que una lista de números relacionados entre sí de tal forma que cada uno de ellos se obtiene haciendo una operación con alguno de los anteriores… pero siempre la misma operación.
Los ocho primeros términos de la sucesión de Fibonacci son:1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …
Para saber más…
Si quieres saber algo más sobre la sucesión de Fibonacci, pincha en éste enlace: Fibonacci
Si quieres saber algo más sobre la sucesión de Fibonacci, pincha en éste enlace:
Fibonacci
¿Cómo descubrieron Nietsnie e Iccanobif la proporción áurea?
Fijaos en la forma de nuestra flor, es pentagonal (cinco pétalos), prácticamente regular (podría traducirse esta regularidad en que los cinco pétalos son iguales en forma y tamaño). Este modelo se ajusta a una figura geométrica conocida como pentágono regular estrellado o pentagrama.
En la imagen de la izquierda se han señalado algunos segmentos de distinto color (verde, violeta, rojo y amarillo) para que lo aprecies mejor.
Si dividimos la medida correspondiente al segmento verde entre la correspondiente al segmento violeta dará como resultado 1,618…
Igualmente si dividimos la medida del segmento rojo entre el amarillo volverá a dar como resultado 1,618…
Este resultado no dependerá de si el pentágono es mayor o menor, si la unidad de medida que tomemos (en todo caso siempre la misma) sean milímetros, centímetros, pulgadas o kilómetros. Es una proporción estable y que siempre dará como resultado 1,618…, es decir, φ.
Podemos verlo más gráficamente en esta nueva representación:
Pregunta de Elección Múltiple
¿Estarían la diagonal AD y el lado AB de un pentágono regular en proporción áurea?
Si, siempre.
No.
Depende del tamaño del pentágono.
Seguimos con el segundo objeto: La concha marina conocida también como Nautilus:
Esta preciosa pieza nacarada, equivaldría a una de las figuras matemáticas más bella, la espiral logarítmica.
Tomando una representación de dicha espiral logarítmica, o de Durero, podremos observar un hecho curioso:
Está formada por sucesivos rectángulos en proporción aurea. Por ejemplo el rectángulo ABCD es áureo, es decir:
El rectángulo EFCD es igualmente áureo:
Y así sucesivamente. Además podemos ver otra curiosa cualidad de esta espiral:
Para la construcción partimos desde un pequeño rectángulo áureo (de color rojo).
Ayudándonos de arcos iremos construyendo cuadrados, que en conjunto irán formando otros rectángulos áureos. De esta forma los arcos trazados constituyen una espiral logarítmica.
Además, podemos observar cómo los elementos de la sucesión o serie de Fibonacci aparecen reflejados proporcionalmente a las unidades de medida que hayamos usado para la construcción de la espiral. En la imagen de la derecha se observa mucho mejor:
¿Qué secreta relación habrá entre el número áureo y la sucesión o serie de Fibonacci? En el siguiente apartado tienes la respuesta, gracias a los conejos.
3.- Los conejos, la sucesión de Fibonacci y el número de oro
Supongamos que…
Supongamos que tenemos una pareja de conejos recién nacidos, deberán esperar un mes para poder reproducirse, teniendo una nueva pareja de conejitos. Así, al cabo de dos meses, serán dos las parejas: la inicial y la pequeñita. En el tercer mes la primera pareja se vuelve a reproducir, teniendo una nueva parejita, los pequeños no se reproducen porque aún deben madurar. En el cuarto mes ya hay dos parejas reproductivas y una inmadura, en total cinco.
Supongamos que tenemos una pareja de conejos recién nacidos, deberán esperar un mes para poder reproducirse, teniendo una nueva pareja de conejitos. Así, al cabo de dos meses, serán dos las parejas: la inicial y la pequeñita. En el tercer mes la primera pareja se vuelve a reproducir, teniendo una nueva parejita, los pequeños no se reproducen porque aún deben madurar. En el cuarto mes ya hay dos parejas reproductivas y una inmadura, en total cinco.
Si seguimos la misma pauta, aparecerán los números que conforman la serie de Fibonacci, observa la siguiente imagen y la tabla donde recogemos los datos de más meses:
Jugando con los términos de la sucesión de Fibonacci (que coinciden, como puedes observar con el total de pares de conejos) se obtendría una curiosa propiedad:
| Fin de mes | Pares de conejos recién nacidos | Pares de conejos adultos | Total de pares de conejos |
| 0 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 2 | 1 | 1 | 2 |
| 3 | 1 | 2 | 3 |
| 4 | 2 | 3 | 5 |
| 5 | 3 | 5 | 8 |
| 6 | 5 | 8 | 13 |
| 7 | 8 | 13 | 21 |
| 8 | 13 | 21 | 34 |
| 9 | 21 | 34 | 55 |
| 10 | 34 | 55 | 89 |
| 11 | 55 | 89 | 144 |
| 12 | 89 | 144 | 233 |
Jugando con los términos de la sucesión de Fibonacci (que coinciden, como puedes observar con el total de pares de conejos) se obtendría una curiosa propiedad:
Propiedad:
Al dividir cada término de la sucesión de Fibonacci entre el término anterior, se va obteniendo un cociente que cada vez se aproxima más y más al valor del número de oro.
Al dividir cada término de la sucesión de Fibonacci entre el término anterior, se va obteniendo un cociente que cada vez se aproxima más y más al valor del número de oro.
Puedes verlo en esta tabla: (Tomamos como valor aproximado de phi, con una precisión de diez cifras decimales, al número 1,6180339887)
| Cociente | Diferencia en valor absoluto con phi | Cifras decimales de aproximación a phi |
| 1 : 1 = 1 | 0,61803398 ... | 0 |
| 2 : 1 = 2 | 0,38196601 ... | 0 |
| 3 : 2 = 1,5 | 0,11803398 ... | 0 |
| 5 : 3 = 1, 66666666 ... | 0,04863267 ... | 1 |
| 8 : 5 = 1,6 | 0,01803398 ... | 1 |
| 13 : 8 = 1, 625 | 0,00696601 ... | 2 |
| 21 : 13 = 1,61538461... | 0,00264937 ... | 2 |
| 34 : 21 = 1,61904776 ... | 0,00101363 ... | 2 |
| 55 : 34 = 1,61764705 ... | 0,00038692.... | 3 |
Muy importante:
Jamás podremos escribir con cifras el valor exacto de phi, al ser un número irracional, es decir, un número con infinitas cifras decimales no periódicas.
Por tanto cualquier valor que tomemos para phi no será más que una mera aproximación. Otros números irracionales famosos serían π, e, √2, etc...
Cuanto más prolonguemos esta tabla, veremos como el cociente está cada vez más próximo al valor de las primeras cifras decimales de phi. Los matemáticos tienen una forma peculiar de transcribir esta propiedad, sería algo así:
No te preocupes, es extraño pero sencillo de comprender, significaría que si seguimos dividiendo cada término de esta sucesión entre el anterior hasta el infinito (bueno, lo más que podamos), llegaremos al valor exacto de phi. Esto es lo que se llama un límite en el infinito… pero calma, no te lo pediremos... ¿o sí?...
No te preocupes, es extraño pero sencillo de comprender, significaría que si seguimos dividiendo cada término de esta sucesión entre el anterior hasta el infinito (bueno, lo más que podamos), llegaremos al valor exacto de phi. Esto es lo que se llama un límite en el infinito… pero calma, no te lo pediremos... ¿o sí?...
Pregunta de Elección Múltiple
¿Cuál es el valor del cociente, con diez cifras decimales, entre los términos vigésimo primero y vigésimo de la sucesión de Fibonacci? ¿A cuántas cifras decimales de phi nos aproximaremos?
aproximación a 7 cifras decimales de phi)
aproximación a 4 cifras decimales de phi)
(aproximación a 5 cifras decimales de phi)
Para saber más…
En esta presentación tienes otros ejemplos de cómo, en muchos casos, la Naturaleza se comporta como un perfecto geómetra: Armonía natural
En esta presentación tienes otros ejemplos de cómo, en muchos casos, la Naturaleza se comporta como un perfecto geómetra:
Armonía natural
Iccanobif y Nietsnie se sorprendieron al descubrir que ya desde unas de las épocas más antiguas de la historia de este curioso planeta, el llamado antiguo Egipto, se trabajaba siguiendo las pautas de la proporción áurea.
Prueba de ello eran las famosas y misteriosas pirámides.
Posteriormente se le puso nombre propio al uso de esta proporción de forma reiterativa, Fidias y la Acrópolis de Atenas eran, más que un homenaje a los dioses, un homenaje a la razón… a la razón áurea.
Pero les intrigó aún más un "loco" de la divina proporción, uno de los mayores sabios de la historia humana, el gran Leonardo da Vinci. Él era un ejemplo de unión de ciencia, arte, invención, él era Phi con mayúsculas.
Pero no todo acababa ahí, aún en el arte abstracto, en las construcciones contemporáneas volvía a aparecer una y otra vez esta proporción.
Un ejemplo serían los cuadros de un tal Mondrian, un homenaje a la proporción áurea, un ejemplo de bella y estudiada "simplicidad".
Volvamos a nuestros ejemplos, primero uno arquitectónico: el Partenón. Todo él está repleto de la proporción áurea. Este edificio, hoy en forma de "ruinas" es uno de los más imitados a lo largo de la historia, ejemplo de equilibrio, sobriedad y grandeza arquitectónica.
En la siguiente imagen se muestran algunos de los rectángulos áureos que esconde entre sus viejas piedras:
¿No recuerda a la forma matemática del Nautilus, la espiral?
Imágenes: Wikimedia commons
El otro ejemplo era el cuadro de la Gioconda o Mona Lisa de Leonardo da Vinci, quizá uno de los mayores tesoros del Museo del Louvre (Paris). Su rostro, su misteriosa sonrisa, su mirada, todo está envuelto en una serie de rectángulos áureos.
Un claro ejemplo de "estudiada naturalidad".
¿Cómo se podía construir un rectángulo áureo?
¿Cómo se podía saber que f= ?
Para saber el proceso completo, observa atentamente la siguiente presentación: Construyendo phi
Prueba de ello eran las famosas y misteriosas pirámides.
Posteriormente se le puso nombre propio al uso de esta proporción de forma reiterativa, Fidias y la Acrópolis de Atenas eran, más que un homenaje a los dioses, un homenaje a la razón… a la razón áurea.
Pero les intrigó aún más un "loco" de la divina proporción, uno de los mayores sabios de la historia humana, el gran Leonardo da Vinci. Él era un ejemplo de unión de ciencia, arte, invención, él era Phi con mayúsculas.
Pero no todo acababa ahí, aún en el arte abstracto, en las construcciones contemporáneas volvía a aparecer una y otra vez esta proporción.
Un ejemplo serían los cuadros de un tal Mondrian, un homenaje a la proporción áurea, un ejemplo de bella y estudiada "simplicidad".
Volvamos a nuestros ejemplos, primero uno arquitectónico: el Partenón. Todo él está repleto de la proporción áurea. Este edificio, hoy en forma de "ruinas" es uno de los más imitados a lo largo de la historia, ejemplo de equilibrio, sobriedad y grandeza arquitectónica.
En la siguiente imagen se muestran algunos de los rectángulos áureos que esconde entre sus viejas piedras:
¿No recuerda a la forma matemática del Nautilus, la espiral?
Imágenes: Wikimedia commons
Un claro ejemplo de "estudiada naturalidad".
¿Cómo se podía construir un rectángulo áureo?
¿Cómo se podía saber que f=
?Para saber el proceso completo, observa atentamente la siguiente presentación:
Construyendo phiPregunta de Elección Múltiple
En la presentación hemos visto que para descubrir el valor de phi es necesario el Teorema de Pitágoras, otro de los grandes matemáticos relacionado íntimamente con la proporción áurea. Vamos a ver si te has enterado bien, contestando a la siguiente cuestión:
¿Cuál es el valor de la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden respectivamente 3 cm y 4 cm?
7 cm
25 cm
5 cm
En la siguiente presentación te mostraremos otros ejemplos de obras artística de distintas épocas en las que la composición se basa en al proporción áurea: Arte áureo
Arte áureo
La unión entre Arte y Matemáticas no sólo se basa en la proporción áurea, existen infinidad de ejemplos que llevarían años de estudio.
En Andalucía se encuentran dos ejemplos de interés y belleza sin igual,
Para saber más
En Andalucía se encuentran dos ejemplos de interés y belleza sin igual,
- La Proporción cordobesa (c) y
- Los frisos y mosaicos de la Alhambra de Granada.
En el siguiente enlace tienes una completa información sobre la proporción cordobesa. Si te gusta el tema puedes seguir navegando por esta misma unidad didáctica y descubrirás un poco más sobre la relación entre el Arte y las Matemáticas: La proporción cordobesa o humana
Observa el siguiente vídeo de la serie "Más por menos" dedicado a los mosaicos de la Alhambra y su relación con las Matemáticas: Mosaicos y matemáticas
La proporción cordobesa o humanaObserva el siguiente vídeo de la serie "Más por menos" dedicado a los mosaicos de la Alhambra y su relación con las Matemáticas:
Mosaicos y matemáticas
También se quedaron maravillados al descubrir la proporción áurea en el violín. ¿Magia?... No, la música, los instrumentos musicales y las matemáticas están íntimamente ligados. De hecho, la primera escala musical, "pentatónica" fue un invento pitagórico y... ¿te suena el término pentagrama...?
Las "efes" de los violines están colocadas siguiendo la razón áurea. Las sonatas de Mozart, la Quinta de Beethoven, Debussy, etc, tienen relación con la proporción áurea.
Las "efes" de los violines están colocadas siguiendo la razón áurea. Las sonatas de Mozart, la Quinta de Beethoven, Debussy, etc, tienen relación con la proporción áurea.
Para saber más:
Las relaciones entre los instrumentos musicales, las composiciones musicales y la proporción áurea son muy interesantes. En este enlace encontrarás la proporción áurea en distintos instrumentos musicales:
El número de oro en los instrumentos de cuerda.Y aquí, el mismismo pato Donald, te explicará en un vídeo cómo se construye la escala pentatónica:
El pato Donald en el país de las Matemágicas.
El ser humano tiene tendencia a sentirse el centro del Universo, lo más bello para ellos y ellas es otro ser humano, ¿o no se ha estado nunca enamorado o enamorada?. Además son a la vez creación y creadores, y tienden a hacer las cosas a "su imagen y semejanza", y ¿cuál es su imagen y semejanza?... desde luego su semejanza es la proporción áurea.
Observa la imagen de la izquierda, es el conocido como "Hombre de Vitrubio" de Leonardo da Vinci.
Se trata de un estudio de las proporciones del cuerpo humano, realizado a partir de los textos del arquitecto de la antigua Roma, Vitrubio, del que el dibujo toma su nombre.
El cuadrado está centrado en los genitales, y el círculo en el ombligo. La relación entre el lado del cuadrado y el radio del círculo es la razón áurea.
Para Vitruvio el cuerpo humano está dividido en dos mitades por los órganos sexuales, mientras que el ombligo determina la sección áurea. En el recién nacido, el ombligo ocupa una posición media y con el crecimiento migra hasta su posición definitiva en el adulto.
El dibujo también es a menudo considerado como un símbolo de la simetría básica del cuerpo humano y, por extensión, del Universo en su conjunto.
De acuerdo con las notas del propio Leonardo en el Hombre de Vitrubio se dan otras relaciones:
Proporciones humanas
Conclusión: Existiría una razón "científica" que explicaría porque los humanos prefieren al hombre de la primera foto antes que al de la segunda:
Imágenes: dreamstime
Conociendo ya el "secreto de phi" no es de extrañar que la proporción áurea impregne muchos de los diseños de los objetos creados por los humanos, desde la forma de un coche, de una ventana, de un libro, de un pupitre, la clásica calculadora, de cómo se ha construir una habitación para que el sonido sea perfecto en ella, un Ipod...
...hasta algo muy importante, desgraciadamente para todos, cuando llegamos a fin de mes: la tarjeta de crédito, la billetera y el DNI.
En la arquitectura y el diseño de mediados del siglo XX, surgió un sistema denominado "Modulor" ideado por el arquitecto Le Corbusier. La idea principal era que el diseño debía estar a "escala humana", es decir, manteniendo las proporciones áureas. Si deseas saber un poco más sobre este método, mira el siguiente enlace: Le Corbusier, Modulor
Observa la imagen de la izquierda, es el conocido como "Hombre de Vitrubio" de Leonardo da Vinci.
Se trata de un estudio de las proporciones del cuerpo humano, realizado a partir de los textos del arquitecto de la antigua Roma, Vitrubio, del que el dibujo toma su nombre.
El cuadrado está centrado en los genitales, y el círculo en el ombligo. La relación entre el lado del cuadrado y el radio del círculo es la razón áurea.
Para Vitruvio el cuerpo humano está dividido en dos mitades por los órganos sexuales, mientras que el ombligo determina la sección áurea. En el recién nacido, el ombligo ocupa una posición media y con el crecimiento migra hasta su posición definitiva en el adulto.
El dibujo también es a menudo considerado como un símbolo de la simetría básica del cuerpo humano y, por extensión, del Universo en su conjunto.
De acuerdo con las notas del propio Leonardo en el Hombre de Vitrubio se dan otras relaciones:
Proporciones humanasConclusión: Existiría una razón "científica" que explicaría porque los humanos prefieren al hombre de la primera foto antes que al de la segunda:
Imágenes: dreamstime
Desde luego phi se merece hasta una bella poesía...
A ti, maravillosa disciplina,
media, extrema razón de la hermosura,
que claramente acata la clausura
viva en la malla de tu ley divina.
A ti, cárcel feliz de la retina,
áurea sección, celeste cuadratura,
misteriosa fontana de mesura
que el Universo armónico origina.
A ti, mar de los sueños angulares,
flor de las cinco formas regulares,
dodecaedro azul, arco sonoro.
Luces por alas un compás ardiente.
Tu canto es una esfera transparente.
A ti, divina proporción de oro.
media, extrema razón de la hermosura,
que claramente acata la clausura
viva en la malla de tu ley divina.
A ti, cárcel feliz de la retina,
áurea sección, celeste cuadratura,
misteriosa fontana de mesura
que el Universo armónico origina.
A ti, mar de los sueños angulares,
flor de las cinco formas regulares,
dodecaedro azul, arco sonoro.
Luces por alas un compás ardiente.
Tu canto es una esfera transparente.
A ti, divina proporción de oro.
Rafael Alberti
Conociendo ya el "secreto de phi" no es de extrañar que la proporción áurea impregne muchos de los diseños de los objetos creados por los humanos, desde la forma de un coche, de una ventana, de un libro, de un pupitre, la clásica calculadora, de cómo se ha construir una habitación para que el sonido sea perfecto en ella, un Ipod...
...hasta algo muy importante, desgraciadamente para todos, cuando llegamos a fin de mes: la tarjeta de crédito, la billetera y el DNI.
Imagen: MEC-ITE
En la arquitectura y el diseño de mediados del siglo XX, surgió un sistema denominado "Modulor" ideado por el arquitecto Le Corbusier. La idea principal era que el diseño debía estar a "escala humana", es decir, manteniendo las proporciones áureas. Si deseas saber un poco más sobre este método, mira el siguiente enlace:
Le Corbusier, ModulorPregunta de Elección Múltiple
Imagina que tienes que deseas que una imagen tenga forma de rectángulo áureo. Sabemos que la altura del rectángulo tiene de medida 450 pixeles, ¿Qué medida, aproximadamente, deberías darle a la base del rectángulo?
728 pixeles
800 pixeles
740 pixeles
Para repasar, afianzar y disfrutar
En los siguientes vídeos, el profesor Don Antonio Pérez, nos hace un repaso general de todo el tema. Por favor, es muy importante que los veas de principio a fin, es una autentica clase magistral:
En los siguientes vídeos, el profesor Don Antonio Pérez, nos hace un repaso general de todo el tema. Por favor, es muy importante que los veas de principio a fin, es una autentica clase magistral:
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